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[Math] Optimisation & triangles semblables

Résolu Le problème de ce sujet a été résolu.

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Hors ligne LangueHippique # Posté le 23/09/2009 à 13 h 56
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Bonjour,

J'ai vu qu'il y avait quelques matheux ici. Un petit "problème" pour vous :p

Aujourd'hui, en cours, bref rappel des problèmes d'optimisation. L'un deux consistait à minimiser la longueur d'un câble unissant deux poteaux de hauteurs différentes, câble qui tombait au sol à une certaine distance dans l'espace entre les poteaux. L'histoire revenait à calculer à quelle distance d'un des poteaux ce câble tomberait.

Il s'est avéré que l'utilisation des triangles semblables s'est révélée payante. Or, a priori, je ne vois pas pour quelles raisons cette propriété serait d'application dans ce cas-ci. Le professeur non plus. Maintenant, un tel "hasard" me paraît assez grand, trop peut-être.

Une petite image pour étayer mes dires :
Image utilisateur

k représente des constantes, 1 et 2 les triangles où s'applique Thalès et a+b la longueur du câble à minimiser, en fonction de la longueur de x.

Merci :-°
Modifié le 23/09/2009 à 13 h 57 par LangueHippique

Excellent ...
 
Hors ligne Ziame # Posté le 23/09/2009 à 17 h 59
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Bonjour,

Ca te paraît fonctionner car justement dans le cas où ça fonctionne les triangles ont des mesures égales. Mais vu que c'est ce que tu dois démontrer...

Enfin bref, solution possible :

\mbox{Tu calcules a et b via le theoreme de Pythagore}\\
\mbox{(si les poteaux sont perpendiculaires au sol, ce que semble indiquer ton schema) :}\\
a = \sqrt{k^2 + x^2}\\
b = \sqrt{2k^2 + x^2 - 2kx}\\
\mbox{Donc : }a + b = \sqrt{k^2 + x^2} + \sqrt{2k^2 + x^2 - 2kx}\\
\mbox{Tu derives par rapport a x la fonction qui a x associe } \sqrt{k^2 + x^2} + \sqrt{2k^2 + x^2 - 2kx}\\
\mbox{Tu regardes pour quelle valeur de x la derivee s'annule et cette valeur de x sera ton minimum.}

Je t'ai tracé la courbe de la fonction a + b (en rouge) et sa dérivée (en vert) pour k = 5 pour illustrer l'idée que je mentionnais ci-dessus :

Image utilisateur


Si tu n'as pas encore vu les dérivées, il doit y avoir d'autres solutions (celle-ci est juste la première qui m'est venue à l'esprit).

Si vous aimez écrire et que vous avez des choses à dire sur l'un des thèmes que couvre notre blog, n'hésitez pas ! ;)
 
Hors ligne OujA # Posté le 23/09/2009 à 18 h 31
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Et en posant un bon Lagrangien, avec le principe des moindres actions... :p

Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?

En fait, il y a plus simple, tu fais simplement le symétrique de ton poteau de droite par rapport au sol, puis, le chemin le plus court est la ligne droite, puis on peut utiliser Thalès grâce à l'alignement du poteau symétrique, de l'endroit où le câble touche, et du premier poteau.

Triviale non ?

Ca m'a rappelé le principe de Fermat en optique géomètrique appliqué au cas du miroir plan qui n'est pas traité par wikipédia malheureusement. ( http://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_de_Fermat )

Sinon, pour la culture général, les câbles entre deux poteaux dessinent des cosinus hyperboliques (selon mon prof de physique, source parfois peu fiable ^^ ). Dans ce cas, le problème est carrément plus complexe.

:) => Merci les ZCorrecteurs !
 
Hors ligne Ziame # Posté le 23/09/2009 à 18 h 41
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^^

Autre méthode en effet plus simple (à force de faire compliqué on finit par chercher compliqué faut croire... :D ). Enfin ma méthode n'est pas si compliquée que ça en fait, elle suppose juste qu'on connaisse les dérivées.

Bref, c'est vrai que ça paraît plus plausible avec une forme de cosinus hyperbolique ^^ :

Cosinus hyperbolique

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Hors ligne Savageman # Posté le 23/09/2009 à 18 h 45
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Le cosinus hyperbolique, c'est la forme que prend naturellement un câble qui "pend" entre 2 points.
 
Hors ligne LangueHippique # Posté le 23/09/2009 à 19 h 48
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Merci pour vos réponses, mais...

Premier point, Ziame, j'ai effectivement employé cette méthode en classe, ce qui a abouti à la réponse.
Second point, je suis bien conscient que l'énoncé laissait un peu à désirer, m'enfin, point de vue pratique avant tout.
Troisième point, OujA, entre autres, ma véritable question était : pourquoi Thalès fonctionne-t-il dans ce cas ? Je suis bien conscient que cela aboutira à une réponse mais.. Qu'est-ce qui me dit que ce sera la même que celle obtenue par dérivation, et a fortiori celle du câble le plus court ?

Merci :)

Excellent ...
 
Hors ligne Ziame # Posté le 23/09/2009 à 20 h 44
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:D Héhé, preuve que ma méthode n'était pas si tordue que ça. ^^

EDIT : pour répondre à ta question, retourne le triangle 2 de manière à ce que l'angle formé par les côtés de longueur b et k soit en bas de la figure et que les points distants de x et k - x soient alignés. Ainsi on voit que a + b sera le plus court si les trois points sont alignés (trivial (plus c'est direct, plus c'est court)), donc tu appliques le théorème de Thalès dans la figure ainsi formée, tu obtiens :
\frac{k}{k} = \frac{a}{b} \Rightarrow a = b
Modifié le 23/09/2009 à 20 h 59 par Ziame

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Hors ligne LangueHippique # Posté le 23/09/2009 à 21 h 09
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Parfait, c'est tout ce qu'il me fallait ! :)

Merci à tous pour votre contribution.

Excellent ...
 
Hors ligne Ziame # Posté le 23/09/2009 à 21 h 53
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Mais de rien. :)

P.-S. : je passe ton sujet comme résolu. ;)

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