Les propositions

Bonjour à tous,

J'ai besoin d'une confirmation ou d'une infirmation sur ceux que je pense :

Voici la phrase : "ce fut en courant, par le bois, qu'il rentra chez lui"

Pour moi :
"ce fut en courant" = il s'agit de la proposition principale, qui à pour fonction complément circonstanciel de manière.
"qu'il rentra chez lui" = c'est la proposition subordonnée relative introduite par qui
"par le bois" = proposition indépendante, qui à pour fonction complément circonstanciel de lieu.

Est-ce que pour vous mon analyse est bonne ou pas ?
Je vous en remercie d'avance.

Je dirais que c'est bon, mais il y a fort longtemps que j'ai fait de l'analyse syntaxique.