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Un peu de maths dans ce monde de littéraires

Un démonstration plutôt... déroutante

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0 membre et 1 visiteur.
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Hors ligne Polok # Posté le 03/01/2010 à 21 h 52
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Salut à tous !
Je viens ici vous exposer une démonstration que je connais depuis un petit bout de temps, et qui m'a toujours impressionnée. Mais est-elle vrai selon vous ?
Citation : Démonstration
Soit a = 0.9999 (souligner un chiffre après la virgule signifie qu'il se répète à l'infini)
=> 10a = 9.9999
=> 10a = 9 + 0.9999
=> 10a = 9 + a
=> 9a = 9
=> a = 1
=> 0.9999 = 1


Alors, vos avis ? ^^

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Hors ligne Poulpette # Posté le 03/01/2010 à 21 h 55
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C'est vrai que c'est terrible comme truc. :D

« La vraie faute est celle qu’on ne corrige pas. » (Confucius)
 
Hors ligne Polok # Posté le 03/01/2010 à 21 h 58
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En fait :
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Cette démonstration repose sur le fait que l'infini moins un est égal à l'infini (et c'est un fait avéré). En effet, lorsque l'on multiplie a par 10 au début, on "décale" la virgule à droite, et on retire donc un 9 après la virgule. Il en reste donc l'infini moins un ;)
Modifié le 03/01/2010 à 21 h 59 par Polok

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Hors ligne Xeroth # Posté le 03/01/2010 à 21 h 59
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Groupe : zAnciens
Ah, cette démonstration je la vois apparaître sur différents forums 3 ou 4 fois par an. Effectivement c'est vrai, mais il faut bien comprendre que c'est la notation qui fait la démonstration : c'est bien parce que les 9 se répètent à l'infini qu'elle est valable.

(Et on voit là qu'on peut écrire 1 d'une manière terriblement compliquée. :-° )
 
Hors ligne Itello # Posté le 03/01/2010 à 22 h 03
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Je te propose d'ailleurs d'aller jeter un coup d'œil sur ce sujet du SdZ : « 1 = 0,999 ».

Citation : karamilo
En fait, on dit simplement que 2 nombres sont différents si on peut en trouver un 3e qui est entre les deux nombres.
Exemple:
3 et 3,1 sont différents car 3,05 est entre les deux.

On ne peut pas trouver de nombre entre 0,999... et 1, donc ce sont deux nombres égaux.

Citation : victor
Une autre preuve simple est celle-ci :
1/3 = 0.33333...
on est d'accord?
1 = 3/3 = 3*(1/3) = 3*0.333333... = 0.9999999...

« Un auteur est peu propre à corriger les feuilles de ses propres ouvrages : il lit toujours comme il a écrit et non comme il est imprimé. » (Voltaire)
 
Hors ligne Polok # Posté le 03/01/2010 à 22 h 09
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Messages : 23
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Je n'avais pas vu ce topic ^^
Sinon pour l'autre démonstration, elle n'est absolument pas rigoureuse puisqu'elle repose sur le fait que 1/3 = 0.3333, ce qui est faux, ce n'est qu'une approximation ;)
Modifié le 03/01/2010 à 22 h 10 par Polok

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Hors ligne Itello # Posté le 03/01/2010 à 22 h 49
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Groupe : zAnciens
C'est normal que tu n'aies pas vu ce topic, j'ai dû réaliser une recherche pour le trouver. Et je ne l'aurais certainement pas trouvé si je ne le connaissais pas déjà.

En revanche, en ce qui concerne la démonstration de victor, elle est parfaitement rigoureuse (et fais-moi confiance, victor sait de quoi il parle).
Le nombre 0,333 est bien égal à 1/3. Je ne vois d'ailleurs pas que qui te permet d'exprimer que c'est une approximation.

Je vais quand même te prouver mathématiquement que tu as tort, et nah :p :
N = 0,333…
10 N = 3,333…
9 N = 3
N = 3/9 = 1/3
Modifié le 03/01/2010 à 22 h 56 par Itello

« Un auteur est peu propre à corriger les feuilles de ses propres ouvrages : il lit toujours comme il a écrit et non comme il est imprimé. » (Voltaire)
 
Hors ligne Polok # Posté le 03/01/2010 à 22 h 55
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Je ne l'explique pas vraiment, c'est comme ça. A l'école, on nous demande toujours d'utiliser 1/3 plutôt que 0.3333, justement parce qu'on considère que c'est une approximation.
J'ai une ébauche de raisonnement, mais la démonstration du premier post la dévalue un peu : Si on dit 1/3 * 3 = 1, et 1/3 = 0.3333, on en arrive au fait démontré. Mais le but était d'arriver à 1, et non pas à 0.9999. Enfin bref c'est un peu confus.

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Hors ligne Itello # Posté le 03/01/2010 à 22 h 58
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Groupe : zAnciens
Qu'est-ce qui est confus pour toi ? Comme expliqué précédemment, 2 nombres sont différents si on peut en trouver un 3e qui est entre les deux. Donc 1 ou 0,999...

Ma démonstration ne te convainc pas sur le fait que 0,333 n'est pas une approximation ?
Modifié le 03/01/2010 à 23 h 00 par Itello

« Un auteur est peu propre à corriger les feuilles de ses propres ouvrages : il lit toujours comme il a écrit et non comme il est imprimé. » (Voltaire)
 
Hors ligne Polok # Posté le 03/01/2010 à 23 h 02
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Citation : Itello
Ma démonstration ne te convainc pas sur le fait que 0,333 n'est pas une approximation ?


Si, en fait je n'avais pas vu ça sous cet angle. Je dois être traumatisé par mes anciens profs :p

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Hors ligne Dalshim # Posté le 04/01/2010 à 21 h 40
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Cette démonstration est très connu et a fait le tour d'à peu près tout les forums. D'ailleurs, je ne comprend pas pourquoi il y a débat à chaque fois alors que tout le monde est d'accord :) .
 
Hors ligne Rastagong # Posté le 05/01/2010 à 17 h 45
Anciennement Rayman3640
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Tiens, marrant, j'avais à prouver cette égalité dans un devoir maison assez récent.

Il s'agissait de prouver que tout nombre décimal admettant une période infinie était rationnel (je ne suis pas sûr que la formulation soit juste :p ).
 
Hors ligne Polok # Posté le 05/01/2010 à 17 h 56
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J'avais vu ça dans un livre d'énigmes, mais je n'en ai jamais entendu parler à l'école. C'est plus impressionnant que le cos de Pi/2, je trouve ^^
Modifié le 05/01/2010 à 17 h 56 par Polok

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Hors ligne Nicolas M. # Posté le 17/02/2010 à 00 h 36
NiCoLaSm = 406.9 g/mol
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Messages : 666
Groupe : zCorrecteurs
C'est dingue ! Et pourtant, c'est vrai... Voici ce qu'en dit Sylvain Lhullier dans sa "Boîte à Énigmes Mathématiques" :

Y a-t-il deux écritures pour un même nombre ?


Énoncé


Posons a = 0,9
Les nombres à la décimale infinie existent : pensez à pi ou à racine de 2.
Prenons alors a, le nombre qui a pour partie entière 0 et pour partie décimale une suite infinie de 9.

a = 0,9
(1) Par définition.

10 * a = 9,9
(2) On multiplie par 10.

10 * a = 9 + 0,9
(3) On décompose le membre de droite.

10 * a = 9 + a
(4) Par définition.

10 * a - a = 9
(5) On retranche a aux deux membres.

9 * a = 9
(6) On simplifie l'expression.

a = 1
(7) On divise par 9 des deux côtés.

Est-il vrai que 1 = 0,9 ?


Solution


Secret (cliquez pour afficher)
La réponse est OUI !
Le calcul de l'énoncé en est la démonstration rigoureuse.

NB : Pour le passage de l'étape (3) à l'étape (4), il faut savoir que l'infini - 1, c'est toujours l'infini.

On peut aussi observer la démonstration suivante : 1 = 3 * (1/3) = 3 * 0,3 = 0,9


Toutes les solutions de ce sujet et de son cousin du SdZ reçoivent l'appui d'un passionné d'énigmes et de jeux de logique, Sylvain Lhullier.

PS : Une autre chose incroyable mais vraie est ce débat mathématique, ce conflit de démonstrations qu'a soulevé une simple égalité-qui-n'en-est-peut-être-pas-une, et ce sur zCorrecteurs.fr comme sur SiteduZero.com o_O
 
Hors ligne Fihld # Posté le 17/02/2010 à 15 h 40
tokiponized
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Citation : Nicolas M.
PS : Une autre chose incroyable mais vraie est ce débat mathématique, ce conflit de démonstrations qu'a soulevé une simple égalité-qui-n'en-est-peut-être-pas-une, et ce sur zCorrecteurs.fr comme sur SiteduZero.com o_O

Pourquoi ce ne serait pas une vraie égalité ? Sinon, je pense que ça fait jaser beaucoup de monde du fait qu'on a du mal à imaginer l'infini ce qui nous amène instinctivement à considérer 0,9, même suivi d'une prétendue infinité de zéros, comme forcément fini à un moment ou un autre. Et puis le résultat est plutôt surprenant et difficile à admettre pour qui n'a pas l'habitude d'une certaine abstraction.

« Le vice est aussi nécessaire dans un État florissant que la faim est nécessaire pour nous obliger à manger. Il est impossible que la vertu seule rende jamais une Nation célèbre et glorieuse. » — Bernard Mandeville.
 
Hors ligne Nicolas M. # Posté le 17/02/2010 à 22 h 34
NiCoLaSm = 406.9 g/mol
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Groupe : zCorrecteurs
J'ai mis que ce n'en était peut-être pas une par respect de l'opinion de ceux qui n'y croient pas, pour les raisons que tu as citées ;)
 
Hors ligne Karl Yeurl # Posté le 08/05/2010 à 12 h 51
Maintenant en qualité blu-raie
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Groupe : zAnciens
Hop, petite remontée de ce topic.

Une autre démonstration plutôt marrante !
Thèse : Les chats ont neuf queues.
Hypothèses : Aucune. {On peut cependant supposer qu'il existe une bijection entre le langage oral et le langage soutenu pour plus de rigueur.}
Démonstration :
Aucun chat n'a huit queues.
Aucun chat a huit queues. {passage en niveau de langage plus familier voire oral}
Un chat a une queue de plus qu'aucun chat.

Par conséquent, un chat a neuf queues. qed

On vous a menti ! Les chats ont neuf queues. :D
Modifié le 08/05/2010 à 12 h 52 par Karl Yeurl

Mais le rire cessa, car soudain l'enfant pâle,
Brusquement reparu, fier comme Viala,
Vint s'adosser au mur et leur dit : Me voilà.
V. HUGO

You should totally read my blog. Mon Twitter
 
Hors ligne Pyrna # Posté le 08/05/2010 à 13 h 20
Le mérite, ça se mérite !
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Est-ce pour cela qu'un de mes amis (il était étudiant en physique, à l'époque), m'a dit un jour que :

1+1 \neq 2


PS - La tête que j'ai fait ce jour-là ressemblait à peu près à ça => o_O

Karl Yeurl : Ta démonstration me fait penser au chat de Schrödinger. [Pov' chat]

Postulante zCorrectrice (recalée en phase 2).
JE REVIENDRAI ! (gimmick de Terminator).
 
Hors ligne Karl Yeurl # Posté le 08/05/2010 à 13 h 52
Maintenant en qualité blu-raie
Avatar de Karl Yeurl
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Groupe : zAnciens
Aucune idée, mais chez les informaticiens, 1+1=10:-°

Mais le rire cessa, car soudain l'enfant pâle,
Brusquement reparu, fier comme Viala,
Vint s'adosser au mur et leur dit : Me voilà.
V. HUGO

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Hors ligne Sypho # Posté le 08/06/2010 à 18 h 50
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Citation : Nicolas M.
C'est dingue ! Et pourtant, c'est vrai... Voici ce qu'en dit Sylvain Lhullier dans sa "Boîte à Énigmes Mathématiques" :

Y a-t-il deux écritures pour un même nombre ?


Énoncé


Posons a = 0,9
Les nombres à la décimale infinie existent : pensez à pi ou à racine de 2.
Prenons alors a, le nombre qui a pour partie entière 0 et pour partie décimale une suite infinie de 9.

a = 0,9
(1) Par définition.

10 * a = 9,9
(2) On multiplie par 10.

10 * a = 9 + 0,9
(3) On décompose le membre de droite.

10 * a = 9 + a
(4) Par définition.

10 * a - a = 9
(5) On retranche a aux deux membres.

9 * a = 9
(6) On simplifie l'expression.

a = 1
(7) On divise par 9 des deux côtés.

Est-il vrai que 1 = 0,9 ?


Solution


Secret (cliquez pour afficher)
La réponse est OUI !
Le calcul de l'énoncé en est la démonstration rigoureuse.

NB : Pour le passage de l'étape (3) à l'étape (4), il faut savoir que l'infini - 1, c'est toujours l'infini.

On peut aussi observer la démonstration suivante : 1 = 3 * (1/3) = 3 * 0,3 = 0,9


Toutes les solutions de ce sujet et de son cousin du SdZ reçoivent l'appui d'un passionné d'énigmes et de jeux de logique, Sylvain Lhullier.

PS : Une autre chose incroyable mais vraie est ce débat mathématique, ce conflit de démonstrations qu'a soulevé une simple égalité-qui-n'en-est-peut-être-pas-une, et ce sur zCorrecteurs.fr comme sur SiteduZero.com o_O


Désolé de upper le topic, mais si a = 0.9, depuis quand 10a = 9.9 ? o_O
 

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