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Mathématiques...

Dm, produit scalaire / barycentre

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Hors ligne mwsaz # Posté le 29/10/2009 à 19 h 57
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Messages : 2323
Groupe : zAnciens
Bonjour,
Je fais appel à vos talents de mathématiciens, car je n'arrive pas à venir à bout d'un DM sur le barycentre / produit scalaire.
L'exercice qui me pose problème est le 134 p 261 (annabac), question 2b :
Citation

On considère un tétraèdre ABCD.
On note I, J, K, L, M, N les milieux respectifs des arêtes [AB], [CD], [BC], [AD], [AC], [BD].
On désigne par G l'isobarycentre des points A, B, C et D.

1) Montrer que les droites (IJ), (KL) et (MN) sont concourantes en G.
Dans la suite de l'exercice, on suppose que AB=CD, BC=AD et AC=BD (on dit que le tétraèdre ABCD est équifacial, car ses faces sont isométriques).

>> Par associativité, G est aussi le barycentre de [...]
>> G milieu de  [IJ], [KL] et [MN]
>> (donc les droites sont concourantes en G)

2) a. Quelle est la nature du quadrilatère IKJL ? Préciser également celle de IMJN et KNLM.
    b. En déduire que (IJ) et (KL) sont perpendiculaires. On admettra que, de même, les droites (IJ) et (MN) sont perpendiculaires et les droites (KL) et (MN) sont orthogonales.

>> a. G milieu de [IJ], [KL] donc les [IJ] et [KL] se coupent en leur milieu donc IKJL est un parallélogramme.

Et je bloque sur la b. :(

Une âme charitable pourrait-elle m'indiquer une piste ? Ce n'est pas dans mes habitudes de demander l'aide, mais là je dois admettre que je sèche...
Modifié le 31/10/2009 à 11 h 18 par mwsaz
 
Hors ligne G14nt J4ck # Posté le 29/10/2009 à 21 h 31
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Que sont L et N ?

Edit : Quoi qu'il en soit, comme IKJL est un parallélogramme (ce qui se montre de plusieurs manières), si ses diagonales sont perpendiculaires, alors IKJL est un losange. Par ailleurs, si IKJL est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires. Donc tu peux chercher à tester l'égalité des longueurs JK et JL, par exemple. Le problème, c'est que si je ne me suis pas trompé dans le placement des points, avec Thalès on peut déduire que JK=JL si et seulement si AC=BD. N'aurais-tu pas omis de nous préciser certaines données de l'énoncé (comme par exemple, « ABCD est un tétraèdre régulier » ?
Modifié le 29/10/2009 à 22 h 01 par G14nt J4ck
 
Hors ligne OujA # Posté le 29/10/2009 à 22 h 39
Messages : 31
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Bonjour,

En te posant des questions simples, tu peux résoudre ce problème. Image utilisateur

Par exemple à la question "Que faire ?", je te réponds : "il faut savoir faire preuve d'initiative ! Utilise une base dans laquelle tu fixes A(1,0,0) ; B(0,1,0) ; C(0,0,1) et D(0,0,0), puis tu calcules tes milieux, tes barycentres, le tout dans un cas particulier super simple (et calculatoire)."


Et si le prof te dit que tu n'as fait qu'un cas particulier, tu lui rétorque que non, à un isomorphisme (transformation) tous les cas se ramène à ce cas particulier.

S'il te demande "pourquoi ?", tu rétorques que l'on peut le poser comme axiome (indémontrable donc), et qu'il serait équivalent à l'axiome de Zorn.

Sinon, tu peux toujours te dire qu'en étalant toutes les propriétés que tu connais sur les triangles, les parallèlogrammes, et tout le reste, tu peux réussir à te sortir d'affaire. ;)

Sinon, effectivement, il nous manque quelques données pour que l'on puisse s'amuser, mais à la fois tu ne demandes que des pistes...
Modifié le 29/10/2009 à 23 h 25 par OujA

:) => Merci les ZCorrecteurs !
 
Hors ligne mwsaz # Posté le 29/10/2009 à 22 h 53
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Groupe : zAnciens
Je vais donc creuser pendant la nuit :)
Le seul hic c'est que ce sont justement les seules données dont je dispose. Je vois bien que la réponse ne doit pas être compliquée, ce n'est qu'une question 2) sur 8)... Mais je bloque.

Merci.
 
Hors ligne OujA # Posté le 29/10/2009 à 23 h 25
Messages : 31
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Ce qui me chagrine c'est surtout le L qui apparaît d'on ne sait où, après je n'ai pas regardé la suite plus en détail. :-°
Modifié le 29/10/2009 à 23 h 26 par OujA

:) => Merci les ZCorrecteurs !
 
Hors ligne vincent1870 # Posté le 30/10/2009 à 10 h 28
Avatar de vincent1870
Messages : 11437
Groupe : Administrateurs
Le point N aussi n'est pas défini… T'es sûr que tu nous as mis tout l'énoncé ? :-°

Président de l’association Corrigraphie, structurant et soutenant les activités du site.
Développeur et contributeur au code source du site.
 
Hors ligne mwsaz # Posté le 31/10/2009 à 11 h 17
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Groupe : zAnciens
Vous êtes bien gentils de vous attarder sur mon cas, surtout que j'oublie des lignes en recopiant ><
C'est réparé ; et merci, ça marche en effet avec Thalès.

Bonne journée :magicien:
 
Hors ligne G14nt J4ck # Posté le 01/11/2009 à 12 h 55
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Mais de rien, ce fut un plaisir. ;)
 

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