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Des maths !!

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Neoterranos	# Posté le 03/06/2009 à 22 h 19
Messages : 110	Avec 1,5,6,7 et les opérations usuelles, faire 21. Précision : vous devez utiliser tous les chiffres une et une seule fois chacun. Beware : ROFLCOTER in the sky !
Dalshim	# Posté le 03/06/2009 à 22 h 58
Messages : 534 Membres	Il m'aura posé des problèmes celui là : Secret (cliquez pour afficher) 1-5/7 = 2/7 6/(2/7) = 6*7/2 = 42/2 = 21
Neoterranos	# Posté le 04/06/2009 à 00 h 17
Messages : 110	Il est très chiant, la première fois que je l'ai vu, il m'a fallu 35 minutes pour le trouver. Pourtant, je suis plutôt fanna des maths ! Une autre : un groupe de six personnes veut partir en bus d'un point A à un point B. Seulement, le bus est limité, il reste trois places assises, et il ne peut y avoir de passagers debout. Le chauffeur doit prendre trois personnes au hasard dans le groupe. Combien de combinaisons différentes le chauffeur peut-il faire ? Dans ce groupe, il y a deux parents et leur fille, quelle est la probabilité que ce soit ces trois là qui soient pris ? Modifié le 04/06/2009 à 00 h 24 par Neoterranos Beware : ROFLCOTER in the sky !
Xeroth	# Posté le 04/06/2009 à 16 h 26
Messages : 391	Tiens, j'ai justement eu un contrôle sur les probas ce matin, donc si je ne m'abuse (si j'ai réussi pourrait-on dire), on a : Secret (cliquez pour afficher) Le nombre de combinaisons égal à 654 = 120 (pour la première personne, le chauffeur a le choix parmi 6 personnes, puis 5, puis 4). Pour la probabilité qu'ils soient tous ensemble, on compte 6 combinaisons favorables à cet évènement ([P1, P2, F] ; [P2, P1, F] ; [P1, F, P2] ; [P2, F, P1] ; [F, P1,P2] ; [F, P2, P1]), soit 6 chances sur 120, c'est-à-dire 5 % de chance.
Le Chapelier Toqué	# Posté le 04/06/2009 à 19 h 07
Messages : 810	Je ne suis pas très bon en proba (on vient de bâcler le cours, histoire que le prof puisse dire qu'il a fini le programme cette année), mais il me semble (on arrive au même résultat) qu'il n'y a que : *(654)/(23) combinaisons. En effet, on se moque de l'ordre dans lequel les personnes sont choisies (ou à quelle place elles sont assises). Du coup, on a qu'1 possibilité*. Probabilité = 1/20 = 5%. Modifié le 04/06/2009 à 19 h 08 par Le Chapelier Toqué Joyeux Non-Anniversaire ! Away from zCorrection...*
Neoterranos	# Posté le 05/06/2009 à 02 h 27
Messages : 110	Citation : Xeroth Tiens, j'ai justement eu un contrôle sur les probas ce matin, donc si je ne m'abuse (si j'ai réussi pourrait-on dire), on a : Secret (cliquez pour afficher) Le nombre de combinaisons égal à 654 = 120 (pour la première personne, le chauffeur a le choix parmi 6 personnes, puis 5, puis 4). Pour la probabilité qu'ils soient tous ensemble, on compte 6 combinaisons favorables à cet évènement ([P1, P2, F] ; [P2, P1, F] ; [P1, F, P2] ; [P2, F, P1] ; [F, P1,P2] ; [F, P2, P1]), soit 6 chances sur 120, c'est-à-dire 5 % de chance. Je parlais de combinaison, et non d'arrangements, l'ordre n'a donc aucune importance, et donc la réponse est 20. Pour la proba, tu as bien répondu. Pour rappel, la formule des combinaison est $\begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ , ce qu'il n'était pas nécessaire de savoir (j'ai volontairement pris des petits chiffres). Celle des arrangements est si ma mémoire est bonne $\displaystyle A_{p}^{n} = \frac{n!}{(n-p)!}$ . Voiloù ! Ensuite, je propose ceci : J'ai 12 paires de chaussettes rouges, 6 bleues, et 4 noires, et il fait très noir. Combien de chaussettes dois-je tirer pour être sûr d'en avoir deux de la même couleur ? Pour être sûr d'en avoir trois de couleurs différentes ? Beware : ROFLCOTER in the sky !
Dalshim	# Posté le 05/06/2009 à 14 h 08
Messages : 534 Membres	Pour deux de la même couleur : 4. Pour trois de couleur différentes : (12+6)*2+1 = 37. Modifié le 05/06/2009 à 14 h 10 par Dalshim
Neoterranos	# Posté le 05/06/2009 à 23 h 42
Messages : 110	Facile hein ? Bon, j'ai été gentil sur ce coup ! Une autre : Résoudre l'équation exp(x) = x. Beware : ROFLCOTER in the sky !
Savageman	# Posté le 06/06/2009 à 00 h 08
Ex-administrateur Messages : 4199	Secret ici. Je surfe avec Opera.
Neoterranos	# Posté le 06/06/2009 à 00 h 34
Messages : 110	Bof... Beware : ROFLCOTER in the sky !
Savageman	# Posté le 06/06/2009 à 00 h 57
Ex-administrateur Messages : 4199	Secret (cliquez pour afficher) Alors je dis aucun résultat car les courbes x et exp(x) ne se croisent jamais. Leur différence ne peut donc jamais être nulle. C'est pas super rigoureux, mais d'une logique infaillible. Je surfe avec Opera.
Guillawme	# Posté le 06/06/2009 à 09 h 44
Messages : 3243	Ça fait bien deux ans que j'ai pas fait de maths, donc je vais peut-être dire une ânerie, mais Neoterranos n'a pas précisé si on devait résoudre pour x réel. Peut-être qu'il y a des solutions dans les complexes ? Là c'est à vous, grands matheux, de nous le dire. Quand on sait pas lire, on fout la paix aux bouquins ! In Academia, "vacations" just mean you're doing work somewhere else.
Savageman	# Posté le 06/06/2009 à 11 h 07
Ex-administrateur Messages : 4199	Alors ça dépasse mon cadre de compétences (poutant, j'ai aussi fait 2 ans de prépa, bien que ces 2 années commencent à dater). Je surfe avec Opera.
Neoterranos	# Posté le 06/06/2009 à 12 h 26
Messages : 110	Citation : Guillawme Ça fait bien deux ans que j'ai pas fait de maths, donc je vais peut-être dire une ânerie, mais Neoterranos n'a pas précisé si on devait résoudre pour x réel. Peut-être qu'il y a des solutions dans les complexes ? Là c'est à vous, grands matheux, de nous le dire. Pour x réel, il n'y a pas de solution. Il suffit d'étudier exp(x)-x, et de chercher son minimum, qui est supérieur à 0. Pour x complexe, je ne sais pas, on peut en chercher, mais ce serait long, il faudrait trouver un complexe tel que son module soit égal à l'exponentielle de sa partie réelle, et il y aurait des conditions sur les arguments (donc des recherches de points fixes pour la fonction cosinus etc), sans garantie de résultat ! Beware : ROFLCOTER in the sky !
cbasile06	# Posté le 07/07/2009 à 14 h 28
Messages : 1 Membres	Hmmm, personnellement, je pense qu'on peut trouver quelque chose. On cherche un complexe $z = a + i b$ ( $a$ et $b$ sont des réels) tel que $e^z = z$ , soit tel que $e^{a+ib}=a+ib$ , ou encore tel que $e^a e^{ib} = a+ib$ . Soit enfin, puisque $e^{ib} = cos(b) + i sin(b)$ , on cherche : $e^acos(b) + ie^asin(b) = a+ib$ , et puisque deux complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire, cela revient à chercher un couple de réels $(a;b)$ vérifiant le système : $\left\{ a = e^a cos(b) \\ b = e^a sin(b) \right.$ . On peut supposer que $sin(b) \neq 0$ cas, si $sin(b) = 0$ , pour que le système reste vérifié, il faudrait que $b = 0 \times e^a$ , soit que $b = 0$ et $z$ serait alors réel, or (je ne le démontre pas, Neoterranos a dit "Il suffit d'étudier exp(x)-x, et de chercher son minimum, qui est supérieur à 0." :d ) l'équation n'a pas de solution pour $z$ réel. De plus, pour que le système soit vérifié, il faut que $b$ et $sin(b)$ soient de même signe (puisque $b = e^a sin(b)$ et que, $a$ étant réel, $e^a > 0$ ). On doit donc avoir $\frac{b}{sin(b)} = e^a$ soit $a = ln$\frac{b}{sin(b)}$$ (on a vu que, pour qu'il y ait solution, il fallait que $\frac{b}{sin(b)}$ soit strictement positif, donc le ln ne réduit pas l'ensemble des solutions - si $\frac{b}{sin(b)} \le 0$ , il n'y a de toute façon pas de solution). On se retrouve donc à chercher les solutions de $\left\{ a = e^a cos(b) \\ a = ln$\frac{b}{sin(b)}$ \right.$ . En "injectant" la seconde dans la première : $\left\{ a = \frac{b \times cos(b)}{sin(b)} \\ a = ln$\frac{b}{sin(b)}$ \right.$ Il nous reste donc à résoudre $\frac{b \times cos(b)}{sin(b)} = ln$\frac{b}{sin(b)}$$ , ce qui n'est pas une équation des plus simples (je ne sais pas la résoudre, je dois bien l'avouer, je vais donc "seulement" prouver qu'il existe au moins une solution dans $\mathbb{R}$ ; on peut très certainement prouver qu'il y en a une infinité - une dans chaque intervalle du type $x \in \]2k \pi ; $2k+1$\pi [$ avec $k \in \mathbb{Z}$ - , mais ça risque de devenir vraiment lourd si je le fais ici :d ). Posons $f(x) = \frac{x \times cos(x)}{sin(x)} - ln$\frac{x}{sin(x)}$$ définie quand $sin(x) \neq 0$ ( $\frac{x \times cos(x)}{sin(x)}$ défini) et $sin(x)$ et $x$ du même signe ( $\frac{x}{sin(x)}$ défini et positif donc on peut en calculer le ln dans $\mathbb{R}$ ) donc en particulier définie - et continue car composée de fonctions continues sur cet intervalle et $x$ et $sin(x)$ du même signe donc c'est bon pour le ln - sur $\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}$ . Or, $f$\frac{\pi}{4}$ \approx 0.68$ et $f$\frac{\pi}{2}$ \approx -0.45$ , donc d'après le théorême des valeurs intermédiaires, il existe au moins un $x_0$ dans $\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}$ tel que $f(x_0) = 0$ car $0$ est entre $-0.45$ et $0.68$ . D'après une calculatrice ou Wolfram\|Alpha (par exemple), on peut trouver (entre autres) $b \approx 1.337235701430689$ ou $b \approx -7.588631178472516$ , ce qui donne respectivement $a \approx 0.31813150520476$ et $a \approx 2.0622777295983$ , et on trouve bien dans ces deux cas que $e^{a + i b} = a + i b$ (je vous laisse essayer !). Désolé si j'ai été long, mais je n'avais pas eu de mathématiques à me mettre sous la dent depuis deux semaines (le BAC) donc j'ai pas pu résister :d P.S. : J'espère ne pas avoir écrit trop de bêtises ni avoir été trop ennuyant...
neamar	# Posté le 07/07/2009 à 23 h 29
Just know the rules... Messages : 23 Membres	Je me permets de faire de la pub pour ce petit topic qui avait soulevé pas mal d'intérêts sur le SDZ : Les dix plus belles énigmes Une des dix énigmes de cette page est justement la première de NeoTerranos (faire 21 avec 1,5,6,7) (cbasile : demande à W\|A) Modifié le 07/07/2009 à 23 h 32 par neamar Omnilogie.fr : un article tous les jours pour se coucher moins bête le soir ; Mise en forme typographique automatique : pour les maniaques des espaces insécables, majuscules accentuées et autres tirets cadratins...
Neoterranos	# Posté le 02/08/2009 à 05 h 38
Messages : 110	Citation : cbasile06 Hmmm, personnellement, je pense qu'on peut trouver quelque chose. On cherche un complexe $z = a + i b$ ( $a$ et $b$ sont des réels) tel que $e^z = z$ , soit tel que $e^{a+ib}=a+ib$ , ou encore tel que $e^a e^{ib} = a+ib$ . Soit enfin, puisque $e^{ib} = cos(b) + i sin(b)$ , on cherche : $e^acos(b) + ie^asin(b) = a+ib$ , et puisque deux complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire, cela revient à chercher un couple de réels $(a;b)$ vérifiant le système : $\left\{ a = e^a cos(b) \\ b = e^a sin(b) \right.$ . On peut supposer que $sin(b) \neq 0$ cas, si $sin(b) = 0$ , pour que le système reste vérifié, il faudrait que $b = 0 \times e^a$ , soit que $b = 0$ et $z$ serait alors réel, or (je ne le démontre pas, Neoterranos a dit "Il suffit d'étudier exp(x)-x, et de chercher son minimum, qui est supérieur à 0." :d ) l'équation n'a pas de solution pour $z$ réel. De plus, pour que le système soit vérifié, il faut que $b$ et $sin(b)$ soient de même signe (puisque $b = e^a sin(b)$ et que, $a$ étant réel, $e^a > 0$ ). On doit donc avoir $\frac{b}{sin(b)} = e^a$ soit $a = ln$\frac{b}{sin(b)}$$ (on a vu que, pour qu'il y ait solution, il fallait que $\frac{b}{sin(b)}$ soit strictement positif, donc le ln ne réduit pas l'ensemble des solutions - si $\frac{b}{sin(b)} \le 0$ , il n'y a de toute façon pas de solution). On se retrouve donc à chercher les solutions de $\left\{ a = e^a cos(b) \\ a = ln$\frac{b}{sin(b)}$ \right.$ . En "injectant" la seconde dans la première : $\left\{ a = \frac{b \times cos(b)}{sin(b)} \\ a = ln$\frac{b}{sin(b)}$ \right.$ Il nous reste donc à résoudre $\frac{b \times cos(b)}{sin(b)} = ln$\frac{b}{sin(b)}$$ , ce qui n'est pas une équation des plus simples (je ne sais pas la résoudre, je dois bien l'avouer, je vais donc "seulement" prouver qu'il existe au moins une solution dans $\mathbb{R}$ ; on peut très certainement prouver qu'il y en a une infinité - une dans chaque intervalle du type $x \in \]2k \pi ; $2k+1$\pi [$ avec $k \in \mathbb{Z}$ - , mais ça risque de devenir vraiment lourd si je le fais ici :d ). Posons $f(x) = \frac{x \times cos(x)}{sin(x)} - ln$\frac{x}{sin(x)}$$ définie quand $sin(x) \neq 0$ ( $\frac{x \times cos(x)}{sin(x)}$ défini) et $sin(x)$ et $x$ du même signe ( $\frac{x}{sin(x)}$ défini et positif donc on peut en calculer le ln dans $\mathbb{R}$ ) donc en particulier définie - et continue car composée de fonctions continues sur cet intervalle et $x$ et $sin(x)$ du même signe donc c'est bon pour le ln - sur $\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}$ . Or, $f$\frac{\pi}{4}$ \approx 0.68$ et $f$\frac{\pi}{2}$ \approx -0.45$ , donc d'après le théorême des valeurs intermédiaires, il existe au moins un $x_0$ dans $\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}$ tel que $f(x_0) = 0$ car $0$ est entre $-0.45$ et $0.68$ . D'après une calculatrice ou Wolfram\|Alpha (par exemple), on peut trouver (entre autres) $b \approx 1.337235701430689$ ou $b \approx -7.588631178472516$ , ce qui donne respectivement $a \approx 0.31813150520476$ et $a \approx 2.0622777295983$ , et on trouve bien dans ces deux cas que $e^{a + i b} = a + i b$ (je vous laisse essayer !). Désolé si j'ai été long, mais je n'avais pas eu de mathématiques à me mettre sous la dent depuis deux semaines (le BAC) donc j'ai pas pu résister :d P.S. : J'espère ne pas avoir écrit trop de bêtises ni avoir été trop ennuyant... Intéressant, tu as eu le courage de chercher, moi j'ai eu la flemme de sortir un papier ce jour là. À partir de ce résultat, peux-tu me dire s'il y a plusieurs, ou bien une infinité de solutions ? Modifié le 02/08/2009 à 05 h 46 par Neoterranos Beware : ROFLCOTER in the sky !
Neoterranos	# Posté le 02/08/2009 à 18 h 39
Messages : 110	(Niveau prépa, ou terminale S spé maths) Quel est le reste de la division de $2456^{2009}$ par 9 ? Beware : ROFLCOTER in the sky !
vincent1870	# Posté le 02/08/2009 à 20 h 39
Messages : 11229	Ça me rappelle des souvenirs ça en effet. Je me souviens plus de la technique, mais il me semble que c'est pas dur, mais long. Président de l’association Corrigraphie, structurant et soutenant les activités du site. Développeur et contributeur au code source du site.
Neoterranos	# Posté le 02/08/2009 à 22 h 02
Messages : 110	Exact, enfin, pas si long que ça. Beware : ROFLCOTER in the sky !

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