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[Enigme/Question] Mathématiques

Pour les matheux, sinon impossible à trouver

Résolu Le problème de ce sujet a été résolu.

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Hors ligne Bouv # Posté le 11/11/2008 à 13 h 32
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Reprise du dernier message de la page précédente :


Savegeman, A est un anneau qui est réduit à l'élément nul, or par définition un anneau a besoin d'avoir le symétrique de l'addition (qui est 0) et le symétrique de la multiplication (qui est 1) de ce fait 0=1 et comme ça 1 est dans A.

Je ne sais pas si c'est vraiment plus clair.
 
Hors ligne Neoterranos # Posté le 21/11/2008 à 01 h 02
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Groupe : zAnciens
Citation : Bouv
Savegeman, A est un anneau qui est réduit à l'élément nul, or par définition un anneau a besoin d'avoir le symétrique de l'addition (qui est 0) et le symétrique de la multiplication (qui est 1) de ce fait 0=1 et comme ça 1 est dans A.

Je ne sais pas si c'est vraiment plus clair.

C'est une définition abusive des anneaux.
À la base, on suppose 1 = 0 et on dit alors que A = {0}.
L'anneau nul ne sert cependant pas à grand chose.

Au passage, si tu définis A = {0} donc 1 = 0, tu peux aussi montrer que si a appartient à A, alors a = 1 = 0.

Cependant, tout ce que tu montres, c'est que l'élément 1 de A est égal à l'élément 0 de A, pas que l'élément 1 des réels est égal à l'élément 0 des réels, ta démonstration n'est vraie que dans A, ce que tu te gardes bien de préciser pour les non matheux.
Modifié le 21/11/2008 à 01 h 14 par Neoterranos

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Hors ligne Bouv # Posté le 21/11/2008 à 18 h 20
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Tu as tout à fait raison Neoterranos, dans l'anneau A, pour un quelconque élément a, on a : a=1=0.
Et il est vrai aussi que cette démontration n'est vrai que dans l'anneau A. Je n'ai peut être pas été assez explicite en disant que ces conditions ne sont limités qu'à l'anneau A={0}, mais en disant tout au début :
Citation : Bouv
Dans quelle condition 1=0 ?
Je présumais que ce n'est pas réel dans les conditions normal d'utilisation (si je puis dire dire comme ça). Donc pour faire clair, 0=1 si et seulement si on est dans un anneau (A,+,*) tel que A={0}, donc dans un cas très particulier des réels, qui n'est que très rarement voir jamais utilisée (une condition infaisable dans le concret).

Citation : Neoterranos
C'est une définition abusive des anneaux.
À la base, on suppose 1 = 0 et on dit alors que A = {0}.
L'anneau nul ne sert cependant pas à grand chose.
Je ne voie pas en quoi c'est une définition abusive, mais à la limite je m'en moque. Mais ce que je sais c'est que quand j'ai vu ceci en cours, on avais besoin de l'anneau restreint à l'élément nul afin de démontrer quelque chose, et mon professeur de Maths a fait une parenthèse pour nous montrer que 0 peut être égal à 1 dans une condition très particulière.


Mais j'ademais très honnêtement que je n'ai surement pas été assez précis dans les conditions d'utilisation pour les non matheux. Veuillez m'en excuser. ;)
 
Hors ligne Savageman # Posté le 21/11/2008 à 18 h 37
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Groupe : zAnciens
Après, il y a aucune application, car travailler dans un anneau (ou tout autre espace d'ailleurs) ne contenant qu'un seul élément, bah... C'est plutôt très limité !
Dans l'absolu, je suis d'accord, mais bon...
 
Hors ligne Neoterranos # Posté le 22/11/2008 à 02 h 17
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Groupe : zAnciens
Citation : Bouv
Citation : Neoterranos
C'est une définition abusive des anneaux.
À la base, on suppose 1 = 0 et on dit alors que A = {0}.
L'anneau nul ne sert cependant pas à grand chose.
Je ne voie pas en quoi c'est une définition abusive, mais à la limite je m'en moque. Mais ce que je sais c'est que quand j'ai vu ceci en cours, on avais besoin de l'anneau restreint à l'élément nul afin de démontrer quelque chose, et mon professeur de Maths a fait une parenthèse pour nous montrer que 0 peut être égal à 1 dans une condition très particulière.

Tout simplement parce que l'anneau nul ne contient qu'un élément.
On définit tous les éléments comme étant égaux à 0, mais en vérité, il n'y a qu'un seul élément dans l'anneau : 0 (ou 1 etc...).
Abusive n'est peut-être pas le bon terme, mais on va dire que je me comprend. :)

P.S. : L'anneau Z\Z est un cas particulier d'anneau réduit à {0}.
Modifié le 22/11/2008 à 02 h 18 par Neoterranos

Beware : ROFLCOTER in the sky !
 
Hors ligne Bouv # Posté le 22/11/2008 à 10 h 48
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Citation : Neoterranos
Abusive n'est peut-être pas le bon terme, mais on va dire que je me comprend.
J'ai bien compris ce que tu veux dire par là, mais je ne sais pas vraiment comment le dire avec des termes exact.


Citation : Neoterranos
P.S. : L'anneau Z\Z est un cas particulier d'anneau réduit à {0}.
Oui, un cas particulier, pas le général :-° (Je joue sur les mots là)
 
Hors ligne Neoterranos # Posté le 06/12/2008 à 21 h 27
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Groupe : zAnciens
Pour t'aiguiller, Z\nZ est l'ensemble des classes d'équivalences de Z modulo n.

Par exemple, Z\3Z contient 0, 1, et 2.
3 valant 0 modulo 3, il est dans la classe d'équivalence de 0, notée souvent 0 avec un point au dessus.
4 valant 1 modulo 1, il est dans la classe d'équivalence de 1...

Etc etc...

D'où Z\nZ = {0·, 1·, ... (n-1)·}

Beware : ROFLCOTER in the sky !
 
Hors ligne Aniem # Posté le 24/02/2009 à 23 h 11
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Euh je vais me permettre de "déterrer" gentiment ce topic (allez il n'était qu'en première page)
Pour simplement remarquer que notre gros malin de Bouv n'a montré qu'une condition suffisante pour que 0 = 1 (au sens algébrique du terme, ie l'élément neutre de la première loi de l'anneau est la même que l'élément neutre de la deuxième loi), or il n'a jamais montré que si un anneau vérifiait 0 = 1, alors il ne contenait qu'un seul élément. (pas dur)

Enfin, tu n'a jamais précisé que notre ensemble vérifiait les propriétés d'un anneau, par exemple, je peux te trouver des lois sympas sur un certain ensemble non vide ni réduit à un seul élément telles qu'on ait bien un élément neutre pour les deux lois( 0 et 1) , et 0 = 1

Je te mets même au défi d'en trouver un (pas tellement dur non plus, mais c'est amusant)
 
Hors ligne Neoterranos # Posté le 28/02/2009 à 02 h 01
Avatar de Neoterranos
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Groupe : zAnciens
Loi genre composition, intersection, réunion, congruence etc (or ici on parle de lois usuelles, celles qui s'appliquent aux nombres, pas aux ensembles, fonctions, matrices, vecteurs ou autre, après si tu prends la matrice identité et que tu dis qu'elle vaut 1, tu peux faire plein de choses, en algèbre)...

Moi j'aime bien les démonstrations :

Secret (cliquez pour afficher)
Soit a un élément de l'anneau A en question.
a = 1.a = 0.a = 0
A = \{0\}
A est un groupe commutatif pour + :
0 est élément neutre de la somme
\forall (a,b) \in A^{2}, a-b = 1.a-1.b = 0.a-0.b = 0-0 = 0 \in A (preuve plus forte, elle sert à montrer l'existence d'un symétrique, et la stabilité par la somme)
\forall (a,b,c) \in A^{3}, (a+b)+c = a+(b+c) = 0 (associativité)
\forall (a,b) \in A^{2}, a+b = b+a = 0 (commutativité)

. est une lci de A, associative, distributive par rapport à +, et elle admet 1 (=0) comme élément neutre :
\forall (a,b) \in A^{2}, a.b = b.a = 0 \in A (stabilité et commutativité)
\forall (a,b,c) \in A^{3}, a.(b.c) = (a.b).c = 0 (associativité)
\forall (a) \in A, 1.a = a = 0 (neutralité de 1)
\forall (a,b,c) \in A^{3}, a.(b+c) = a.b+a.c = (b+c).a (distributivité, seule la première égalité compte, la deuxième sert juste à rappeler la commutativité)


Pour ton second problème, je n'ai pas d'idée en tête comme ça.
(Et j'ai une grosse flemme.)

P.S. : \A\B\C\D\G\H\I\L\M\N\O\P\R\S\T\U\X\Y (cherchez pas, je m'amuse !)
P.S.S. : Aniem, tu es un peu agressif quand même... Évite.
Modifié le 28/02/2009 à 02 h 14 par Neoterranos

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